Kecepatan Peluruhan dan Waktu Paruh

Materi: unsur radioaktif
Kecepatan Peluruhan dan Waktu Paruh. Telah kita pelajari bersama bahwa nuklida yang tidak stabil akan mengalami peluruhan menjadi nuklida yang lebih stabil. Kecepatan peluruhan tiap nuklida berbeda-beda tergantung jenis nuklidanya. Bila ditinjau dari segi orde reaksi, peluruhan nuklida radioaktif mengikuti reaksi orde satu. Hal ini dapat kita gambarkan sebagai berikut:

Bila $N$ adalah jumlah zat radioaktif pada waktu $t$, maka jumlah yang terurai tiap satuan waktu dapat dinyatakan dengan persamaan diferensial, yaitu:
$\begin{align} -\frac{dN}{dt} = \lambda N \end{align}$ ,
dimana :
$\lambda = \,$ tetapan peluruhan, yang besarnya tergantung jenis zat radioaktif. Bila persamaan di atas di integrlakan, maka akan menjadi :
$\begin{align} -\frac{dN}{dt} & = \lambda N \\ -\frac{1}{N} dN & = \lambda dt \\ \int \limits_{N_0}^N \, -\frac{1}{N} dN & = \int \limits_0^t \, \lambda dt \\ -[\ln N]_{N_0}^N & = [\lambda t ]_0^t \\ -( \ln N - \ln N_0) & = [\lambda t ] - [\lambda . 0 ] \\ -\ln \frac{N}{N_0} & = \lambda t \\ \ln \frac{N}{N_0} & = - \lambda t \\ \frac{N}{N_0} & = e^{- \lambda t } \\ N & = N_0e^{- \lambda t } \end{align}$ ,
dengan $N_0 = \,$ jumlah zat radioaktif pada saat $t = 0 \,$ (mula-mula).
Jadi, kita peroleh rumus : $\begin{align} N = N_0 \times e^{- \lambda t } \end{align}$

Pada gambar di atas tampak bahwa setelah waktu $t$ jumlah zat radioaktif menjadi $\frac{1}{2}$ dari jumlah semula. Dalam hal ini kita mengenal waktu yang diperlukan oleh zat radioaktif untuk meluruh menjadi separuh (setengah) dari jumlah semula, yang dikenal dengan waktu paruh $(t\frac{1}{2})$. Jadi, pada saat $t = t\frac{1}{2}$ , maka $N = \frac{1}{2}N_0$ , sehingga:
$\begin{align} -\ln \frac{N}{N_0} & = \lambda t \\ \ln \left( \frac{N}{N_0} \right)^{-1} & = \lambda t \\ \ln \frac{N_0}{N} & = \lambda t \\ \ln \frac{N_0}{\frac{1}{2}N_0} & = \lambda t\frac{1}{2} \\ \ln 2 & = \lambda t\frac{1}{2} \\ 0,693 & = \lambda t\frac{1}{2} \\ t\frac{1}{2} & = \frac{0,693}{ \lambda } \end{align}$
Artinya waktu paruh bisa dihitung dengan rumus : $t\frac{1}{2} = \frac{0,693}{ \lambda }$

Bila jumlah zat radioaktif mulamula = $N_0$ dan waktu paruh = $t\frac{1}{2}$ , maka setelah waktu paruh pertama jumlah zat radioaktif tinggal $\frac{1}{2}N_0 \,$ dan setelah waktu paruh kedua tinggal $\frac{1}{4}N_0$. Setelah zat radioaktif meluruh selama waktu $t$, maka zat radioaktif yang tinggal ($N$), dapat dirumuskan dengan:

Contoh soal :
Suatu zat radioaktif X sebanyak 12,8 gram dan memiliki waktu paruh 2 tahun. Berapa gram zat radioaktif X yang tersisa setelah 6 tahun?
Jawab:
Diketahui: $N_0 = 12,8$ gram, $t\frac{1}{2} = 2$ tahun, $t = 6$ tahun
Ditanyakan: $N = ... ?$
$\begin{align} N & = \left( \frac{1}{2} \right)^\frac{t}{t\frac{1}{2}} N_0 \\ & = \left( \frac{1}{2} \right)^\frac{6}{2} \times 12,8 \\ & = \left( \frac{1}{2} \right)^3 \times 12,8 \\ & = \frac{1}{8} \times 12,8 \\ & = 1,6 \end{align}$
Jadi, zat radioaktif X yang tersisa setelah 6 tahun adalah sebesar 1,6 gram.

Demikian pembahasan materi Kecepatan Peluruhan dan Waktu Paruh dan contohnya.